imagesreshenie-differentsialnogo-uravnenija-vtorogo-porjadka-metodom-progonki-thumb.jpg

Краевая задача для дифференциального уравнения 2 порядка

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка. Такие функциональные условия называют краевыми условиями первого рода. В этом случае краевая задача называется первой краевой задачей. Теперь напишем программу решения краевой задачи для ОДУ второго порядка с помощью конечно-разностного метода. Пример 7.2. Найти приближенное решение краевой задачи y»+y=1,~ 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2},y'(0)=0,y\!

4. Обратный ход метода прогонки для определения решения. Это программа будет тестовой, то есть, содержит функцию yt(t), определяющую точное решение. Используя эту программу, можно решить и другую аналогичную краевую задачу, изменив в нашей программке всего несколько строчек. Задача о нахождении собственных значений.

§ 6. Метод прогонки решения краевых задач для уравнений в частных производных

Задача о разложении по собственным функциям. Метод стрельбы(пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия.

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Теперь решение находится просто. Одно из заданного в на левом граничном условии с нулевым вторым( скажем значение функции задано, а производная не задана). Второе решение исходит из начальных условий равенства нулю значения функции и единичного значения производной.

Я слышала о методе прогонки. Не подскажите где ее найти и схему решения.Спасибо. Не зря математики разработали методы стрельбы и прогонки и для этого класса тоже. Хотелось бы видеть в каких задачах их можно применять!!! Для физики такой вид уравнений не очень естественен, поскольку дифференциальный оператор несимметричен.

Дивергентность важна для другого — для общих свойств уравнения: она позволяет перевести краевую задачу на вариационный язык, что делает численное решение более осмысленным.

Было бы нерационально решать такую систему «в лоб», для неё есть экономичный метод прогонки. Ну а мы реализуем его и конечно-разностный метод в целом при помощи MathCAD. Как и при решении задачи Коши, возвращаем матрицу из 2 столбцов, первый из которых — значения ti в узлах сетки, второй — вычисленные значения yi дискретной функции.

Останется вызвать обе функции и сравнить, что получилось, взяв норму разности векторов точного и приближённого решения. Общее количество условий равно порядку дифференциального уравнения. Условия y'(a)=A,~ y(b)=B являются частным случаем краевых условий третьего рода, так как \alpha_0=0,~ \beta_0=1,\alpha_1=1,~ \beta_1=0.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Подставляя y_{\text{ch}}(x)=C в уравнение y»+y=1, а y_{\text{ch}}(x)=Dx в уравнение y»+y=-x, получаем C=1,~ D=-1. То же относится и к исследованию свойств полученного решения. Вместо точного решения y(x) отыскивается некоторое приближение \widehat{y}_{i}= \widehat{y}(x_{i})\approx y(x_{i}),~ i=\overline{0,n}.

Она является трехдиагональной системой линейных алгебраических уравнений и решается методом прогонки. 1. Изложенный метод сеток допускает обобщение. F(x,y) — нелинейная по y функция (в общем случае, который здесь не рассматривается, функция F зависит также и от y’). В силу нелинейности правой части полученная алгебраическая система является нелинейной и для ее решения нельзя использовать метод прогонки в том виде, в каком он изложен для линейной задачи.

Какие известные алгоритмы есть для численное решения дифференциальных уравнений второго порядка. Для решения задачи (7.5) применим метод сеток, получаемый путем аппроксимации первой и второй производных. 2. Частные решения неоднородных уравнений находятся методом подбора. 7.3),(7.4), так как удовлетворяются и уравнение, и краевые условия. Если уравнения (7.1),(7.2) линейны относительно искомой функции и ее производных, то краевая задача называется линейной.

Читайте также: