Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.

Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если ранг матрицы равен , то любые строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы. Так как элемент a1 1 матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Если , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А(2) так, чтобы «новый» элемент стал ненулевым.

Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения.

Ранг матрицы: определение, методы нахождения, примеры, решения.

Разберемся с определением минора матрицы на примере. Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы. При таком выборе имеем минор второго порядка . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов. Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Их вид зависит от порядка матрицы. Будем считать, что элемент a11 отличен от нуля. В противном случае мы можем перестановкой строк и (или) столбцов преобразовать матрицу так, чтобы «новый» элемент a11 стал ненулевым. И так действуем дальше, пока не придем к одному из рассмотренных выше шаблонов, что позволит определить ранг исходной матрицы.

Число миноров порядка k может быть вычислено как , где и — число сочетаний из p по k и из n по k соответственно. Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров. Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Разберем решения нескольких примеров. Рассмотрим еще один пример. Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие.

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Этот способ основан на определении ранга матрицы. Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец.

Читайте также: